题目

图中的三块阴影部分由两个半径为1的圆及其外公切线分割而成，如果中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，则这两圆的公共弦长是（　　）
A.

5

2

B.

6

2

C.

1

2

25−π2

D.

1

2

16−π2

提问时间：2021-01-30

答案

∵AB，CD为两等圆的公切线，
∴四边形ABCD为矩形，BC=2，
设中间一块阴影的面积为S，
∵中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，
∴BC•AB-（S_半圆AD+S_半圆BC-S）=S，即2AB-π•1²+S=S，
∴AB=

π

2

．
如图，EF为公共弦，PO⊥EF，
OP=

1

2

AB=

π

4

，
∴EP=

OE2−OP2

=

12−( π 4 )2

=

16−π2

4

，
∴EF=2EP=

16−π2

2

．
故选D．

由题意得到四边形ABCD为矩形，BC=2，再根据中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，得到BC•AB-（S_半圆AD+S_半圆BC-S）=S，即2AB-π•1²+S=S，可求出AB=

π

2

，则OP=

1

2

AB=

π

4

，在Rt△OEP中，利用勾股定理可计算出EP，即可得到两圆的公共弦长EF．

本题考点：垂径定理的应用．

考点点评：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理．