题目

1.若关于x的一元二次方程x2+ax+1≥0对于一切实数x都成立,求实数a的取值范围.(这时候的△是怎样的?)
对于一切实数x,不等式ax2+4x+a＞1-2x2恒成立,求实数a的取值范围.
求具体的过程..老师没仔细的讲
还有△为什么的时候,恒成立?恒有意义?

提问时间：2020-07-24

答案

1、x的一元二次方程x2+ax+1≥0,
你看成函数y=x²+ax+1,它的图象是开口向上,y=x²+ax+1≥0,要恒成立就是它的最低点大于等于0,即函数与X轴最多只能有一个交点,意思也就是x²+ax+1=0最多只能有一个实根（可以没有 实根,即图象在X轴上方,没有一个交点）,即△=a²-4≤0 解的,-2≤a≤2
也可以根据“最低点大于等于0” 来解,即y=x²+ax+1=（x+a／2）²+1-（a／2）²,最低点在x=-a／2处,y=1-（a／2）²≥0,同样解得答案,(最低点大于等于0,这个函数大于等于0恒成立)
2、ax²+4x+a＞1-2x²,移项得 （a+2）x²+4x+（a-1）＞0 恒成立,
在a+2＜0时,图象开口向下,（a+2）x²+4x+（a-1）＞0 不可能恒成立,（a+2=0时,不等式不能恒成立,可以放在一起考虑.）
a+2＞0时,即a＞-2时,图象开口向上,（a+2）x²+4x+（a-1）＞0 恒成立,则跟题一类似,要求与X轴没有一个实根,图象全部在X轴上方,即△=4²-4 *（a+2）（a-1）＜0,解的a＜-3、a＞2,分别与前提条件a＞-2求交集,.（注意 与题一 ＞、≧两者的微小区别.
即得：实数a的取值范围a＞2
对于y= mx²+、、 此类,（主要考虑怎样才能时图象完全在X轴的上方或下方.一个实根与两个实根的区别）
m＞0的话 图象 开口向上,只要△≦0,就能使y≧0恒成立,不可能出现y＜0恒成立,
m＜0的话,图象 开口向下,也就只可能y≦0恒成立,此时亦是△≦0.不可能y＞0恒成立.
学习要举一反三、做题要考虑全面,注意细节.