题目

求不定积分：1、∫ dx/x^4(2x^2-1) 下面都是分母 2、∫x^4/(x+1)^100 dx

提问时间：2021-01-30

答案

第一题：
原式＝－∫［1/x^2（2x^2－1）］d（1/x）.
令1/x＝u,则x＝1/u.
∴原式＝－∫｛1/（1/u）^2［2（1/u）^2－1］｝du
　　　＝－∫［u^4/（2－u^2）］du
　　　＝∫［（u^4－4＋4）/（u^2－2）］du
　　　＝∫［（u^2＋2）（u^2－2）/（u^2－2）］du＋4∫［1/（u^2－2）］du
　　　＝∫（u^2＋2）du＋4∫［1/（u＋√2）（u－√2）］du
　　　＝∫u^2du＋2∫du＋√2∫［（u＋√2－u＋√2）/（u＋√2）（u－√2）］du
　　　＝（1/3）u^3＋2u＋√2∫［1/（u－√2）］du－√2∫［1/（u＋√2）］du
　　　＝（1/3）（1/x）^3＋2/x＋√2ln｜u－√2｜－√2ln｜u＋√2｜＋C
　　　＝（1/3）/x^3＋2/x＋√2ln｜1/x－√2｜－√2ln｜1/x＋√2｜＋C
　　　＝（1/3）/x^3＋2/x＋√2ln｜1－√2x｜－√2ln｜1＋√2x｜＋C
第二题：
令x＋1＝u,得：x＝u－1,dx＝du.
∴原式＝∫［（u－1）^4/u^100］du
　　　＝∫［（u^2－2u＋1）^2/u^100］du
　　　＝∫［（u^4＋4u^2＋1－4u^3－4u＋2u^2）/u^100］du
　　　＝∫（1/u^96）du＋6∫（1/u^98）du＋∫（1/u^100）du－4∫（1/u^97）du－4∫（1/u^99）du
　　　＝－（1/95）/u^95－（6/97）/u^97－（1/99）/u^99＋（4/96）/u^96＋（4/98）/u^98＋C
　　　＝－1/［95（x＋1）^95］＋1/［24（x＋1）^96］－6/［97（x＋1）^97］
　　　　＋2/［49（x＋1）^98］－1/［99（x＋1）^99］＋C