题目

设|m向量|=1,|n向量|=2,2m向量+n向量与m向量—3n向量垂直,若向量a=4m-n,向量b=7m+n,则a与b的夹角等于

提问时间：2020-11-24

答案

因为 2m+n 与 m-3n 垂直,所以 (2m+n)*(m-3n)=0 ,
即 2m^2-5m*n-3n^2=0 ,
所以 2-5m*n-12=0 ,
解得 m*n= -2 ,
以下有两种方法：
一、由于 a*b=(4m-n)*(7m+n)=28m^2-3m*n-n^2=28+6-4=30 ,
|a|^2=a^2=(4m-n)^2=16m^2-8m*n+n^2=16+16+4=36 ,|a|=6 ,
|b|^2=(7m+n)^2=49m^2+14m*n+n^2=49-28+4=25 ,|b|=5 ,
所以 cos=a*b/(|a|*|b|)=30/(5*6)=1 ,
则 a、b 夹角为 =0° .（这是通用的方法,必须学会）
二、由于 m*n=|m|*|n|*cos=2cos= -2 ,
所以 m、n 夹角为 180° ,所以 n= -2m ,
因此 a=6m ,b=5m ,
那么 a、b 同向,故夹角为 0° .（这是针对本题的特殊情况做出的,没什么价值）