题目

设abc不等于0,且求分式（a+b)(b+c)(c+a)/abc的值．有两个答案,8和－1,用设K法,设a+b-c/c=a+c-b/b=b+c-a/a＝K

提问时间：2021-01-28

答案

将已知的分子分母分别全部相加得：
(a+b-c)/c=(a-b+c)/b=(-a+b+c)/a=(a+b+c)/(a+b+c)=1
a+b=2c,a+c=2b,b+c=2a,
所以(a+b)(b+c)(c+a)/abc
=2c*2a*2b/abc=8abc/abc=8综上,(a+b)(b+c)(c+a)/abc的值是-1和8.
方法二：由已知得：(a+b)/c-1=(a+c)/b-1=(b+c)/a-1
同时减去1,得
(a+b)/c=(a+c)/b=(b+c)/a=k
设上式等于k,得a+b=kca+c=kbb+c=ka以上三式相加,得
2(a+b+c)=k(a+b+c)
k(a+b+c)-2(a+b+c)=0
(k-2)(a+b+c)=0
解得：k=2和a+b+c=0,
当k=2时,(a+b)(a+c)(b+c)/abc=2*2*2=8；
当a+b+c=0时,可得：a+b=-c,a+c=-b,b+c=-a,则