题目

在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,M,N分别为PA,BC的中点,PD垂直平面ABCD,且PD=AD=根号2,CD=1.(1)证明MN平行面PCD;(2)MC垂直BD;(3)求二面角A-PB-D的余弦值

提问时间：2021-01-27

答案

(1)解析：∵在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,M,N分别为PA,BC的中点,PD垂直平面ABCD
过M作ME⊥AD交AD于E,∴E为AD的中点
∴EN//AB//CD,EN⊥AD,面MEN⊥面ABCD,
又面PDC⊥面ABCD,∴面PDC//面MEN==>MN//面PDC
(2)∵PD=AD=√2,CD=1
连接EC,BD交于F
在Rt⊿EDC中,∠EDC=π/2,∴tan∠DEC=DC/DE=√2
在Rt⊿DAB中,∠DAB=π/2,∴tan∠DBA=AD/AB=√2
∴∠DBA=∠DEC
又∠DBA+∠ADB=π/2,∴∠DEC+∠ADB=π/2==>∠DFE=π/2,即EC⊥BD
又EC为MC在面ABCD中的射影,∴MC⊥BD
(3)过D作DG⊥PB交PB于G,过A作AH⊥PB交PB于H
过G作GS//AH交PA于S
∴∠SGD为二面角A-PB-D的平面角
由Rt⊿ABD中求出BD=√3
由Rt⊿PBD中求出PB=√5,PG=2√5/5,DG=6/5
由Rt⊿PAB中求出BH=√5/5,AH=2√5/5
由⊿PAH∽⊿PSG
得出SG/AH=PG/PH
PH=4√5/5,∴SG/AH=PG/PH=1/2==>SG=AH/2=√5/5
∴M与S重合
∵⊿PAD为Rt⊿,PA=2,∴DS=DM=1
由余弦定理cos∠SGD=(DG^2+GS^2-DS^2)/(2DG*GS)
=(36/25+1/5-1)/(2*6/5*√5/5)=4√5/15
∴二面角A-PB-D的余弦值为4√5/15