题目
四边形ABCD是等腰梯形,其中AD//BC,AD=2,BC=4,AB=CD=根号5.点M从点B开始,以每秒2个单位的速度向C运动
点N从D开始,以每秒1个单位的速度向A运动,若点MN同时运动,点M与C不重合,运动时间为t(t<0),过点N作NP垂直于BC,交BC于点P,交AC于点Q,连结MQ。(1)用含t的代数式表示QP的长。(2)设△CMQ的面积为S,求出S与t的函数关系式。(3)求出t为何值时,△CMQ为等腰三角形。
点N从D开始,以每秒1个单位的速度向A运动,若点MN同时运动,点M与C不重合,运动时间为t(t<0),过点N作NP垂直于BC,交BC于点P,交AC于点Q,连结MQ。(1)用含t的代数式表示QP的长。(2)设△CMQ的面积为S,求出S与t的函数关系式。(3)求出t为何值时,△CMQ为等腰三角形。
提问时间:2021-01-27
答案
(1)过点A作AE⊥BC 交BC于点E
由于AD=2,BC=4,AB=CD=√5
得AE=2
因为ND=t
所以PC=1+t
所以PQ/AE= PC/EC即PQ/2 = (1+t)/3
所以 PQ= (2+2t )/3
(2)因为点M以每秒2个单位长运动所以BM=2t CM=4-2t
所以S cmq = 0.5CM*PQ = 0.5(4-2t) * [(2+2t) /3]= -(2/3)t^2 + 2t/3 +4/3
(3)若QM=QC
因为QP垂直MC
所以MP=CP
而MP=4-(1+t+2t)=3-3t 即1+t=3-3t,
∴t= 1/2
若CQ=CM
因为CQ^2=CP^2+PQ^2= (1+t)^2 + [(2+2t)/3]^2 = (13/9)(1+t)^2
所以CQ= (√13/3)(1+t)
因为CM=4-2t
所以(√13/3)(1+t)= 4-2t 得出
t=(85-18√13)/23
若MQ=MC
因为MQ^2=MP^2+PQ^2 =(3-3t)^2 + [(2+2t)/3]^2 = 85t^2/9 - 145t/9 +85/9
所以 85t^2/9 - 145t/9 +85/9= (4-2t)^2 得出
49t^2/9 -10t/9 - 59/9=0
解出 t= 59/49 或t=-1舍去
当t的值为1/2 (85-18√13)/23 59/49时 三角形CMQ为等腰三角形
由于AD=2,BC=4,AB=CD=√5
得AE=2
因为ND=t
所以PC=1+t
所以PQ/AE= PC/EC即PQ/2 = (1+t)/3
所以 PQ= (2+2t )/3
(2)因为点M以每秒2个单位长运动所以BM=2t CM=4-2t
所以S cmq = 0.5CM*PQ = 0.5(4-2t) * [(2+2t) /3]= -(2/3)t^2 + 2t/3 +4/3
(3)若QM=QC
因为QP垂直MC
所以MP=CP
而MP=4-(1+t+2t)=3-3t 即1+t=3-3t,
∴t= 1/2
若CQ=CM
因为CQ^2=CP^2+PQ^2= (1+t)^2 + [(2+2t)/3]^2 = (13/9)(1+t)^2
所以CQ= (√13/3)(1+t)
因为CM=4-2t
所以(√13/3)(1+t)= 4-2t 得出
t=(85-18√13)/23
若MQ=MC
因为MQ^2=MP^2+PQ^2 =(3-3t)^2 + [(2+2t)/3]^2 = 85t^2/9 - 145t/9 +85/9
所以 85t^2/9 - 145t/9 +85/9= (4-2t)^2 得出
49t^2/9 -10t/9 - 59/9=0
解出 t= 59/49 或t=-1舍去
当t的值为1/2 (85-18√13)/23 59/49时 三角形CMQ为等腰三角形
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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