题目

在平面直角坐标系中,已知两点A(-3,0)和B(3,0),定直线l:x=9/2平面内动点M总满足向量AM·向量B=0
（1）求动点M的轨迹C的方程
（2）设过定点D（2,0）的直线l（不与X轴重合）交曲线于Q.R两点,求证：直线AQ与直线RB交点总在直线l上

提问时间：2021-01-26

答案

1）设M(x,y)
AM=(x+3,y) BM=(x-3,y)
因为向量AM·向量BM=0
所以(x+3)(x-3)+y^2=0
整理得到x^2+y^2=3^2=9
所以求动点M的轨迹C的方程：x^2+y^2=9
2)即是求证交点G的横坐标为常量9/2
显然过定点D（2,0）的直线l斜率存在
所以设l方程y=kx-2k
联立圆方程消去y 得到
(k^2+1)x^2-4k^2x+4k^2-9=0
不妨设Q(x1,y1) R(x2,y2)
那么x1+x2=4k^2/k^2+1 x1x2=4k^2-9/k^2+1,很容易也可以求出y1+y2=f(k) y1y2=g(k)
然后用两点式可以分别写出AQ,RB方程
然后令方程相等 在把x1+x2,x1x2,y1+y2,y1y2代入化简
就可以得到横坐标是常数了