题目

1.设a,b,c是三角形的三条边,且a³-b³=a²b-ab²+ac²-bc²,则这个三角形是（ )A等腰 B直角 C等腰直角 D等腰或直角
2.已知矩形的周长为16厘米,它的两边长a,b是整数,满足a-b-a²+2ab-b²+2=0,求长方形的面积
3.已知a,b,c为三角形ABC的三边,且满足与a²（b-c)+b²（c-a)＋c²（a-b）=0,试判断三角形ABC的形状,并证明你的结论.

提问时间：2021-01-25

答案

1.
a³-b³=a²b-ab²+ac²-bc²
(a-b)(a²+ab+b²)=ab(a-b)+c²(a-b)
(a-b)(a²+ab+b²)-ab(a-b)-c²(a-b)=0
(a-b)(a²+ab+b²-ab-c²)=0
(a-b)(a²+ab+b²-ab-c²)=0
(a-b)(a²+b²-c²)=0
a-b=0,或a²+b²-c²=0
所以a=b,或a²+b²=c²
所以以a,b,c为边的三角形为等腰或直角三角形,故选D
2.
矩形周长2a+2b=16
所以a+b=8
又a-b-a²+2ab-b²+2=0
即（a-b）-（a²-2ab+b²）+2=0
（a-b）-（a-b）²+2=0
（a-b）²-（a-b）-2=0
（a-b-2）（a-b+1）=0
所以a-b-2=0,或a-b+1=0
所以a+b=8,a-b-2=0联立解得a=5,b=3
a+b=8 ,a-b+1=0联立解得a=3.5,b=4.5不是整数,不合题意,舍去
所以a=5,b=3,长方形的面积s=ab=5*3=13
3.
a²（b-c)+b²（c-a)＋c²（a-b）=0
a²（b-a+a-c)+b²（c-a)＋c²（a-b）=0
a²（b-a）+a²（a-c)+b²（c-a)＋c²（a-b）=0
[a²（b-a）＋c²（a-b）]+[a²（a-c)+b²（c-a)]=0
[a²（b-a）-c²（b-a）]+[a²（a-c)-b²（a-c)]=0
（b-a）（a²-c²）+（a-c）（a²-b²）=0
（b-a）（a-c）（a+c）+（a-c）（a-b）（a+b）=0
（b-a）（a-c）（a+c）-（a-c）（b-a）（a+b）=0
（b-a）（a-c）（a+c-a-b）=0
（b-a）（a-c）（c-b）=0
所以b-a=0,或a-c=0,或c-b=0
所以a=b,或a=c,或b=c
即三角形ABC为等腰三角形【注意“或”字,不能想当然为是等边三角形】