题目

如图，BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE上，CQ=AB
．求证：（1）AP=AQ；（2）AP⊥AQ．

提问时间：2021-01-25

答案

证明：（1）∵BD⊥AC，CE⊥AB（已知），
∴∠BEC=∠BDC=90°，
∴∠ABD+∠BAC=90°，∠ACE+∠BAC=90°（垂直定义），
∴∠ABD=∠ACE（等角的余角相等），
在△ABP和△QCA中，

BP＝AC ∠ABD＝∠ACE CQ＝AB

∴△ABP≌△QCA（SAS），
∴AP=AQ（全等三角形对应边相等）．
（2）由（1）可得∠CAQ=∠P（全等三角形对应角相等），
∵BD⊥AC（已知），即∠P+∠CAP=90°（直角三角形两锐角互余），
∴∠CAQ+∠CAP=90°（等量代换），即∠QAP=90°，
∴AP⊥AQ（垂直定义）．

（1）由于BD⊥AC，CE⊥AB，可得∠ABD=∠ACE，又有对应边的关系，进而得出△ABP≌△QCA，即可得出结论．
（2）在（1）的基础上，证明∠PAQ=90°即可．

本题考点：全等三角形的判定与性质．

考点点评：本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握并运用．