题目

已知直线y=kx与曲线y=lnx有公共点，则k的最大值为（　　）
A.

1

e

B.

2

e

C. 1
D.

2

e

提问时间：2021-01-24

答案

由题意，令kx=lnx，则k=

lnx

x

记f（x）=

lnx

x

，f'（x）=

1−lnx

x2

．f'（x）在（0，e）上为正，在（e，+∞）上为负
可以得到f（x）的取值范围为（-∞，

1

e

]这也就是k的取值范围，
∴k的最大值为：

1

e

．
故选：A．

要使直线y=kx与曲线y=lnx有公共点，只需kx=lnx有解，再利用分离参数法通过函数的导数求解即可．

本题考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的图象与图象变化；函数的零点．

考点点评：本题将曲线的交点问题转化为方程根问题，进一步利用导数求解，属于中档题．