题目

一元二次方程难题
已知关于x的方程x²-2mx+1/4n²=0,其中m,n分别是一个等腰三角形的腰长和底边长.
（1）求证：这个方程有两个不相等的实数根
（2）若方程两实根之差的绝对值是8,等腰三角形的面积是12,求这个三角形的周长

提问时间：2021-02-08

答案

m,n均大于0(下面解题不重复这个条件)
(1)
因为三角形.所以两边之和大于第三边.则2m > n
两边平方得 4m² >n²
4m² -n²>0(就是教材上那个b²-4ac>0)
所以这个方程有两个不相等的实数根
(2)
由韦达定理得x1x2=c/a=1/4n² x1+x2=-b/a=2m
|x1 - x2|=根号(x1-x2)² (根号包括后面所有东西)
=根号(x1+x2)²-4x1x2 (一个常用知识点 (x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1x2 )
得到 根号(4m²-n²)=8
则4m²-n²=64
等腰三角形面积等于底乘高/2
高用勾股定理求得= 根号(m²- n²/4)=
根号(m²- n²/4) * n=24
则(m²- n²/4)*n²=576
由4m²-n²=64 m²- n²/4 =16 代入上式得到n²=36
则n=6
所以m=根号7
所以周长=2根号7 + 6
这样的题目在初中接近压轴题了把.- -