题目

如果函数y=x62-2ax在定义域为[1,2]时存在反函数,求a的取值范围及此时反函数

提问时间：2021-01-23

答案

题目是y=x^2-2ax吧,配方得y=(x-a)^2-a^2
所以对称轴是x=a,顶点坐标是（a,a^2）,图像经过原点
在定义域为[1,2]时存在反函数,即在[1,2]上单调,x=1时,y1=1-2a,x=2时,y2=4-4a,
一当a<0时,函数在[1,2]上单调递增,y2>y1,即4-4a-1+2a>0,得3-2a>0,a<3/2,总结为a<0时
存在反函数,反函数为x=a+√(a^2+y),反函数有两条,取x>0的一条,定义域是[1-2a,4-4a]
二当a>0时,有两种情况,一种[1,2]在对称轴左边,一种[1,2]在对称轴右边,这样才能单调
①[1,2]在对称轴左边,即a≥2,此时函数在[1,2]上单调递减,即y1>y2,a>3/2,
总结a≥2,反函数是x=a-√(a^2+y),定义域是[4-4a,1-2a]
②[1,2]在对称轴右边,即a≤1,此时函数在[1,2]上单调递增,y2>y1,a<3/2,
总结a≤1,反函数为x=a+√(a^2+y),定义域是[1-2a,4-4a]