题目

在正方体ABCD-A1B2C1D1中,M ,N分别为DD1,AB的中点,有如下两个说法其中正确的有（ ）
1 BD1 垂直 B1C 2 MN 与DC 所成角的余弦值为六分之根号六
希望各位给个好的回复.

提问时间：2021-01-22

答案

1、正确.
思路：由线面垂直证明线线垂直.
步骤：连结BC1,AD1.
在平面BCC1B1中,易得BC1垂直于B1C；
由C1D1垂直于平面BCC1B1,因此C1D1垂直于B1C.
BC1和C1D1在平面ABC1D1上,因此B1C垂直于平面ABC1D1.
又BD1在平面ABC1D1上,所以,BD1垂直于B1C
2、正确
思路：余弦定理
步骤：连结AM、DN.设边长为a；
在△AMN中,
AM=sqrt（a*a+a/2*a/2）=√5a/2；
MN=sqrt（5a*a/4+a/2*a/2）=√6a/2；
AN=a/2；
则：cos（MN,AB）=（MN*MN+AN*AN-AM*AM）/（2*MN*AN）
=(6a*a/4+a*a/4-5a*a/4)/(√6a/2*a/2)=√6/6
由于AB平行于CD,因此
cos（MN,DC）=cos（MN,AB）=√6/6