题目

在0,1,2,3,4,5,6中取5个数字组成没有重复的五位数,其中能被27整除的最小五位数?

提问时间：2021-01-21

答案

首先这个数能被9整除,则其数字和是9的倍数
而0+1+2+3+4+5+6=21=18+3(=1+2=0+3)
所以这5个数字只可能是:
0,3,4,5,6或1,2,4,5,6中的一种
由于a要尽可能小,先考察1,2,4,5,6,若不存在,再讨论0,3,4,5,6
设这个5位数的形式为abcde,
研究它被27整除的余数
10000a+1000b+100c+10d+e
=(370*27+10)a+(37*27+1)b+(4*27-8)c+10d+e
=27*(370a+37b+4c)+10(a+d)+b+e-8c
则只要10(a+d)+b+e-8c能被27整除,则abcde能被27整除
而 10(a+d)+b+e-8c =9(a+d-c)+(a+b+c+d+e)
这里a+b+c+d+e=18
所以a+d-c=-2,1,4
为了使数值最小,
首先考察a=1的情况
此时d-c=-3,0,3
显然d-c≠0
对于d-c=±3,在同样的个数字时,d>c时这个5位数最小
而d,c从2,4,5,6中满足d-c=3的只有5和2
所以d=5,c=2
余下的4和6分配给b和e
所以b=4,e=6
所以最小五位数是14256