题目

现有一道高一数学例题,在该例题的第二种解法中,有些地方看不懂,
解方程sin5x＝sin4x
解法一：移项并运用三角函数的和差化积公式,得
Sin5x－sin4x=0
2 cos•9x/2 •sin•x/2＝0
cos9x/2＝0 或 sinx/2＝0
由cos9x/2＝0,得9x/2＝2kπ±π/2 (k∈z) 即
X=4/9 kπ±π/9 (k∈z).k
由sinx/2＝0,得x/2＝kπ (k∈z),即
X=2kπ (k∈z).
所以原方程的解集是
{x|x=4/9 kπ±π/9,(k∈z)} U {x|x=2kπ,(k∈z)} ＝ { x|x=4/9 kπ±π/9,或x=2kπ,k∈z }.
解法二：因为与α有相同的正弦值的弧度数x的集合是{x|x= kπ + (－1) ^k•α,k∈z},所以原方程可以化成
5x=kπ+ (－1) ^k•4x (k∈z).
当k是偶数2n（n∈z）时,上式成为5x=2nπ+4x,由此可得
X=2nπ （n∈z）.
当k是奇数2n+1（n∈z）时,上式成为5x=(2n+1) π－4x,由此可得
9x=(2n+1) π （n∈z）,
即
X=1/9(2n+1) π ,（n∈z）.
所以原方程的解集是
{x|x=2nπ ,n∈z}∪{x|x=1/9(2n+1) π ,（n∈z）}=
{x|x=2nπ ,或X=1/9(2n+1) π ,（n∈z）}.
（该例题的两种解法,虽然得到的解集的表示形式不同,但因为当n是偶数2k时,1/9(2n+1) π成为1/9(4k+1) π；当n是奇数2k－1时,1/9(2n+1) π成为1/9(4k－1) π；所以实质上{x | x=1/9(2n+1) π ,（n∈z）}与{x|x=1/9(4k±1) π,k∈z}是相等的集合.就是说,两种解法所得的解集是相同的.
在第二种解法中,从“因为与α有相同的正弦值的弧度数x的集合是{x|x= kπ + (－1) ^k•α,k∈z},所以原方程可以化成”是怎样化成“ 5x=kπ+ (－1) ^k&

提问时间：2021-01-21

答案

解法二的思路就是考虑正弦函数值相同的角的关系,两个角α,β如果正弦值相同的话那么就有α+β=（2n+1）π 或者 α=β+2nπ
综合一下 就是 β= kπ-α（k为奇数）
β= kπ+α（k为偶数）
所以可以写成 β= kπ +（-1）^kα,k∈z
接下来只要把4x和5x分别替代α和β就好了