题目

如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD切⊙O于点C，且∠DAC=∠BAC．

（1）试说明：AD⊥CD；
（2）若AD=4，AB=6，求AC．

提问时间：2021-03-30

答案

（1）证明：连接OC；
∵CD切⊙O于点C，
∴OC⊥CD，
∵OC=OA，
∴∠BAC=∠OCA，
∵∠DAC=∠BAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
∴AD⊥CD；
（2）连接BC，∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
在△ADC与△ACB中，

∠ADC＝∠ACB＝90° ∠DAC＝∠BAC

，
∴△ADC∽△ACB，
∴

AD

AC

=

AC

AB

，
即AC²=AD•AB，
∵AD=4，AB=6，
∴AC=

4×6

=2

6

．

（1）连接OC，根据CD是⊙O的切线可得OC⊥CD，然后证明CO∥AD即可得证明；（2）根据两角对应相等，两三角形相似证明△ADC∽△ACB，然后根据相似三角形对应边成比例列出比例式，代入数据进行计算即可求解．

本题考点：弦切角定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．

考点点评：此题主要考查的是切线的判定方法．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．同时也考查了相似三角形在圆中的应用和计算，此类题目属于中等题目，要求学生具备一定的知识综合运用能力．