题目

数列A(n+1)=A(n)+1/n(n+1),A(1)=1,n属于自然数,求通项公式

提问时间：2021-01-20

答案

A(n+1)-A(n)=1/[(n+1)n],
起点
A(n)-A(n-1)=1/[(n)(n-1)],
A(n-1)-A(n-2)=1/[(n-1)(n-2)],
A(n-2)-A(n-3)=1/[(n-2)(n-3)],
.
A(3)-A(2)=1/[(2)(3)],
A(2)-A(1)=1/[(2)(1)],
终点
叠加上式,化简得：
A(n)-A(1)=1/[(n)(n-1)] +1/[(n-1)(n-2)] +1/[(n-2)(n-3)] +...+1/[(3)(2)] +1/[(2)(1)]
=1/n -1/n-1 +1/n-1 -1/n-2 +1/n-2 -1/n-3 +...+ 1/3 -1/2 +1/2 -1/1
中间的部分消掉得：A(n)-A(1)=1/n -1.
又A(1)=1,所以A(n)=1/n