题目

例2-27 设连续型随机变量X的概率密度为fx(x),令Y=aX+b,其中a,b为常数,a不等于0,求Y的概率密度.
y=g(x)=ax+b,α=负无穷,β=正无穷,x=h(y)=(y-b)/a,h(y)'=1/a,由定理得fY（y）=fx（h（y））|h’（y）|=fx[（y-b）/a]*（1/a的绝对值）
例2-28 N（μ,σ的平方）,求：
（1）Y=（X-μ）/σ的概率密度
利用例2-27所得的结论,fx（x）=[1/（2π的开方*σ)]*e的-[(x-μ)的平方/2*σ的平方]次方
(1)a=1/σ,b=-μ/σ,则 fY(y)=fx(σ(y+μ/σ))σ=fx(σy+μ)*σ=1/[2π的开方*σ]*e的-[(σy+μ-μ)的平方/2*σ的平方]次方*σ=[1/2π的开方]*e的-[y的2次方/2]
即Y~N(0,1)
为什么a=1/σ,b=-μ/σ和为什么 fY(y)=fx(σ(y+μ/σ))σ

提问时间：2021-01-19

答案

第二个题满足第一个题的题设,所以直接用的第一个题的结论.
第一个题中 Y = g(X) = a X + b ,
第二个题中 Y = g(X) = (X - μ) / σ = (1/σ) X - μ/σ ,
右端的两个式子都是X的一次多项式,1/σ ,μ/σ 是已确定的常数,a ,b 是任意的常数,它们分别的X的系数和常数项,进行对照,第一题是一般性的结论.
所以,在解第二题时,令 1/σ = a ,μ/σ = b ,代入第一题的结论中：
第一题的结论是：
fY( y ) = fX[ (y - b)/a ] * |1/a|
将 a = 1/σ ,b = μ/σ 代入,得
fY( y ) = fX[ (y - μ/σ) * σ ] * |σ| = σ * fX( σ y - μ ) = … .