题目

在做微积分的 极限和连续的时候
就是说 做极限的时候,我可以因式分解 那么做连续的时候可以吗?有时候会让我们求f （x）的值 但是我不知道是不存在还是 可以因式分解的…… 举个例子吧,比如说一个函数 （x-3）(x-4)/(x-4) 在这种情况下 我们可不可以把（x-4）这个因式抵消掉 然后说 这个函数是x-3呢 这个时候f(4)是不是就是存在的呢?因为在做连续的时候 需要知道这个f（x）存不存在的.还有如果是不可以分解的话,能不能说下原因,为什么不可以还是说 分解了 会改变因式的graph……

提问时间：2021-01-17

答案

函数f1(x)=（x-3）(x-4)/(x-4)与 f2(x)=（x-3）的不同之处在于定义域.
f1（x）在在x=4处是一个间断点,属于可去间断点
这个题可以把x=4直接代入分子计算,看分子等不等0,如果等于0,
则在x=4这个点必存在一个0因子,如果不存在 那么一个不等0的数除以一个
无限趋近于 0的数结果是什么,显然就是无穷大.只有在0/0时的才可能有极限
任何一个n阶多项式都是可以分解的,我们必须通过分解来了解是否有这个因式
如果没有显然分子在x=4时 不等0的,而分子x-4 在x趋近于4时 趋近于 0
为什么说f1(x)在x=4处极限存在呢,何为极限,极限是指的某种事物
无限趋近于莫一种状况时的取值,这里的极限存在,是由于从直线的左
边和右边趋向于x=4时的值相等,当然当这个点处连续时,从函数图像
上看极限和间断时也是一样的.
下面讲一下大学里的解释,当x趋近于4时（不是等于4哦!）,分母（x-4）是一个无穷小量
这时如果分子中 在x趋近于4时没有一个无穷将其抵消的话,这个函数在x=4处的极限将是
无穷大,当然无穷小量与无穷小量也是有区别的,那就是阶的区别,例如（x-4）² 就比
（x-4）更加高介,我们可以称（x-4）² 为（x-4）在x趋近于4时 的高阶无穷小量,可以看出
无穷小量的阶时一个相对概念.例如：sinx是x趋近于x=0时的同阶（且等价）无穷小量.