题目

★“公设”与“公理”区别何在?★
欧几里德的《几何原本》中既有5个公设,还有5个公理.据说近代数学不分公设与公理,凡是基本假定都叫公理.那么,“公设”与“公理”最初的含义分别是什么?有什么细微差别吗?
欧几里德区分“公设”与“公理”的标准或依据是什么？

提问时间：2021-01-16

答案

欧几里德把少数不加证明而采用的命题作为公设和公理.《几何原本》中采用的公设只有5条：
公设1 从一点到另一点必可引直线.
公设2 任一直线均可无限制地延长.
公设3 以任一点为中心,任意长线段为半径可以作圆.
公设4 所有直角都相等.
公设5 若两直线与第三直线相交,其一侧的两个内角之和小于两直角时,则这两直线向该侧充分地延长后一定相交.
（说明 这就是著名的第五公设,它与“直线外一点只能引一条直线与已知直线平行”是等价的,所以又有“平行公设”之称.）
《几何原本》中的公理亦共有5条：
公理1 等于同量的量相等.
公理2 等量加等量,其和相等.
公理3 等量减等量,其差相等.
公理4 能迭合的量一定相等.
公理5 整体大于部分.
欧几里德是这样区分公理与公设的：
第一,公理适合于一切科学,而公设是几何所特有的；
第二,公理本身是自明的,公设没有公理那样自明,但也是不加证明而承认其真实性的.
时至今日,人们已不在区分公理与公设了,都用公理一词来表明.