题目

关于学习分块矩阵后习题的一个问题
设A=diag(a1i1,a2i2...arir）,ai≠aj（i≠j）,Ii（这个小i是下标）是ni（i仍为下标）阶单位矩阵,∑ni（上面为r,下面为i=1)=n,证明：与A可交换的矩阵只能是如下形式的分块对角矩阵
A1
A2
B=( A3 )
……
Ar
感激不尽!

提问时间：2021-01-15

答案

应该是A=diag(a1E_i1,a2E_i2...arE_ir）,ai≠aj（i≠j）吧.
令B=（B_{ij}）
计算AB,BA
由AB=BA==》a_{i}B_{ij}=B_{ij}a_{j}
==》B_{ij}=0（当i不等于j时）
==》与A可交换的矩阵只能是如下形式的分块对角矩阵