题目

如图 在平面直角坐标系中,四边形OABC是平行四边形,A（3.0）B（0.2）
,若抛物线y=ax²+bx+c经过A,B,C且与x轴的了一个交点为D (1）求抛物线的解析式 （2）若点P是二象限内抛物线上一点直线OP将四边形OBCD的面积分为1：2两部分.求出此时点P的坐标　（3）设点Q是抛物线对称轴上的一个动点,当点Q的坐标为何值时QD+QC最小值?并求出最小值

提问时间：2021-01-15

答案

（1）∵抛物线的顶点坐标是（0,1）,且过点（-2,2）
故设其解析式为 y=ax²+1
则有(-2)²a+1=2,得a=¼
∴此抛物线的解析式为：y=¼x²+1
∵四边形OABC是平形四边形
∴AB=OC=4,AB∥OC
又∵y轴是抛物线的对称轴
∴点A与B是抛物线上关于y轴的对称点
则MA=MB=2,即点A的横坐标是2
∴则其纵坐标y=¼×2²＋1=2 即点A（2,2）,故点M（0,2）
(2)作Q H⊥x轴,交x轴于点H
则∠QHP=∠MOC=90º,∵PQ∥CM ∴∠QPH=∠MCO
∴△PQH∽△CMO
∴PH／CO＝QH／MO 则x-t／4＝y／2
∵y=¼x²+1 ∴x-t／4＝¼x²+1／2
∴t=½x²+x-2
(3)设ΔABQ的边AB上的高为h
S△BCM=½BM·OM=2
∴S△ABQ=2 S△BCM=½AB·h=4 ∴h=2
∴点Q的纵坐标为4 代入 y=¼x²+1 ∴x=±2√3
则存在符合条件的点Q,其坐标为（2√3,4）（-2√3,4）