题目
如图，抛物线y=ax2-2x+3（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，B（1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是线段AB上的动点，过P作PD∥AC，交BC于D，连结PC，当△PCD面积最大时．
①求点P的坐标；
②在直线AC上是否存在点Q，使得△PBQ是等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是线段AB上的动点，过P作PD∥AC，交BC于D，连结PC，当△PCD面积最大时．
①求点P的坐标；
②在直线AC上是否存在点Q，使得△PBQ是等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
提问时间：2021-01-15
答案
（1）∵抛物线y=ax2-2x+3过B（1，0），
∴0=a-2+3，
∴a=-1，
即抛物线的解析式为y=-x2-2x+3； …（3分）
（2）①过D作DE⊥x轴于E，
设P（m，0），则PB=1-m，
由（1）可知C（0，3）A（-3，0），
∴OC=3 AB=4，
∵PD∥AC，
∴△PDB∽△ACB，
∴
=
，
即
=
，
∴DE=
（1-m），…（5分）
∴S△PCD=S△PBC-S△PBD
=
PB•OC-
PB•DE，
=
（1-m）•3-
（1-m）•
（1-m），
=-
（m+1）2+
，
∵-3≤m≤1，
∴当m=-1时 S△PCD有最大值
，
∴P（-1，0）；…（8分）
②在直线AC上是存在点Q，使得△PBQ是等腰三角形，理由如下：
法一：∵P（-1，0）、B（1，0），
∴PB=2，OP=OB，
∴CP=CB，
当QP=QB时，∴Q与C重合 即Q（0，3）…（9分）
∵OA=OC=3，
∴△OAC是等腰三角形，
∵AB=4∴点B到直线AC的距离为AB•sin45°=2
∴0=a-2+3，
∴a=-1，
即抛物线的解析式为y=-x2-2x+3； …（3分）
（2）①过D作DE⊥x轴于E，
设P（m，0），则PB=1-m，
由（1）可知C（0，3）A（-3，0），
∴OC=3 AB=4，
∵PD∥AC，
∴△PDB∽△ACB，
∴
| DE |
| CO |
| BP |
| BA |
即
| DE |
| 3 |
| 1−m |
| 4 |
∴DE=
| 3 |
| 4 |
∴S△PCD=S△PBC-S△PBD
=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
=-
| 3 |
| 8 |
| 3 |
| 2 |
∵-3≤m≤1，
∴当m=-1时 S△PCD有最大值
| 3 |
| 2 |
∴P（-1，0）；…（8分）
②在直线AC上是存在点Q，使得△PBQ是等腰三角形，理由如下：
法一：∵P（-1，0）、B（1，0），
∴PB=2，OP=OB，
∴CP=CB，
当QP=QB时，∴Q与C重合 即Q（0，3）…（9分）
∵OA=OC=3，
∴△OAC是等腰三角形，
∵AB=4∴点B到直线AC的距离为AB•sin45°=2
举一反三
已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程． 我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好 奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看? 想找英语初三上学期的首字母填空练习…… 英语翻译 最新试题
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