题目

已知向量a=(1,3)b=(1,1)c=a+λb,是否存在k,使a与c的夹角为锐角

提问时间：2021-01-15

答案

∵a＝（1,3）,b＝（1,1）
∴c＝（1＋λ,3＋λ）
∴a·c＝（1＋λ）＋3（3＋λ）＝10＋4λ
显然,|a|＝√（1²＋3²）＝√10＞0
|c|＝√[（1＋λ）²＋（3＋λ）²]＝√（2λ²＋8λ＋10）＞0
而a·c＝|a||c|cosθ,其中θ是向量a与c的夹角.
这样为使0＜θ＜π/2,则必有0＜cosθ＜1,
也就是0＜a·c/（|a||c|）＜1
得：0＜a·c＜|a||c|＝√（20λ²＋80λ＋100）
即0＜10＋4λ＜√（20λ²＋80λ＋100）
解此不等式组,得：
λ∈（－5/2,0）∪（0,＋∞）
因此这样的λ是存在的.
题目中没有出现k,怀疑是题目出错了.