题目

已知双曲线x²比a²－y²比b²＝1的离心率e=2√3/3,过A（a,0）B（0,-b）的直线到原点的距离是2√3/3.问：①求双曲线的方程②已知直线y=kx+5(k≠0)交双曲线于不同的点C,D且C,D都在以B为圆心的圆上,求k的值.

提问时间：2021-01-14

答案

1、有A,B两点坐标得AB方程为,bx-ay-ab=0,原点到AB直线距离公式得
ab／√（a²＋b²）=2√3／3.即ab／c=2√3／3,又c／a=e=2√3／3,解得b=4／3,a²=16／3,
曲线方程为x²／(16／3)-y²／(16／9)=1.
2、 设C（x1,y1）,D(x2,y2),将直线方程带入曲线方程得(3-9k²)x²-90kx-241=0,有韦达定理得x1+x2=90k／(3-9k²),y1+y2=k(x1+x2)+10=30／(3-9k²),
CD中点H（45k／(3-9k²),15／(3-9k²)）,由题意得BH和CD垂直.即二者斜率之积为
-1.即15／（3-9k²）+4／3=-1／k×(45k／（3-9k²）),解得k=±4√3／3.