题目

数学函数极限和连续题
1、设f(x)满足f(x1+x2)=f(x1)f(x2),所有x1,x2属于（-∞,+∞）,若f(x)在x=0处连续,且f(0)不为零,证明f(x)在（-∞,+∞）内连续
2、已知a>0,X0>0,Xn+1=1/2（Xn + a/Xn)其中n=0、1、2...求lim Xn .
第二题中n+1和n为下脚标
第一题解得莫名其妙。

提问时间：2021-01-14

答案

1、首先,令x1=x2=0,得到f(0)=f(0)^2；因为f(0)不为零,因此f(0)=1;
,由连续的极限定义,即lim(△x→0)△y=0证明：
设x为R上任意一点,在x处有增量△x；于是
lim(△x→0)△y=lim(△x→0)[f(x+△x)-f(x)]
=lim(△x→0)[f(x)f(△x)-f(x)]=lim(△x→0)[f(x)(f(△x)-1)]=0
即lim(△x→0)△y=0,所以f在x处连续,又因为x的任意性,f处处连续.
2很明显xn>0;又Xn+1=1/2（Xn + a/Xn)>=1/2*2√a=√a；
即Xn>=√a;
于是Xn+1/Xn=1/2(1+a/Xn^2)=√a)
即Xn+1