题目

已知：如图，△ABC中，AB=AC，点D在BC上，过D点的直线分别交AB于点E，交AC的延长线于点F，且BE=CF．求证：DE=DF．

提问时间：2021-01-13

答案

证明：如图，过点E作EG∥AC交BC于G，
则∠ACB=∠BGE，∠F=∠DEG，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠B=∠BGE，
∴BE=GE，
又∵BE=CF，
∴GE=CF，
∵在△CDF和△GDE中，

∠F＝∠DEG ∠CDF＝∠GDE GE＝CF

，
∴△CDF≌△GDE（AAS），
∴DE=DF．

过点E作EG∥AC交BC于G，根据两直线平行，同位角相等可得∠ACB=∠BGE，内错角相等可得∠F=∠DEG，再根据等边对等角可得∠B=∠ACB，然后求出∠B=∠BGE，再根据等角对等边可得BE=GE，从而得到GE=CF，利用“角角边”证明△CDF和△GDE全等，根据全等三角形的可得DE=DF．

本题考点：等腰三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．

考点点评：本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．