题目

过平面α外一条直线a与α平行的平面的个数为
A：只有一个
B：至多一个
C：至少一个
D：没有

提问时间：2021-01-12

答案

B,至多1个
【几何证明】
a‖α时,只需任意找一条直线b‖α,且a,b相交即可
a与α相交时,设平面为β,a与α交点为P,根据题意P∈β,P∈α,则α∩β=l且P∈l,这与α‖β矛盾
【向量证明】
选取α内不共线两向量i,k及α的一个法向量j,则{i,j,k}是空间内一组基底
设a的方向向量n,则n=a1·i+a2·j+a3·k
取一与a共面但不平行的向量m=b1·i+b2·j+b3·k
则任一与m,n同在一个面β上的向量都可以写成p=λm+μn（λ,μ∈R)
要使得α‖β,即要使得p‖α
即λm+μn=λ（b1·i+b2·j+b3·k）+μ（a1·i+a2·j+a3·k）=c1·i+c2·j
也即λb1+μa1=c1,λb2+μa2=c2,λb3+μa3=0
若a‖α,则a3=0,b3=0,可以解得符合题意的面β
若a,α不平行,不存在a3,b3使得任意λ,μ均符合λb3+μa3=0