题目

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1经过点P(根号6/2,1/2),离心率是根号2/2,动点M(2,t)（t＞0）
(1)求椭圆的标准方程(2)求以OM为直径且被直线3x-4y-5=0截得的弦长为2的圆的方程（3）设F是椭圆的右焦点,过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N,证明线段ON的长为定值,并求出这个定值

提问时间：2020-12-06

答案

∵椭圆x²/a²+y²/b²=1离心率是√2/2,c/a=√2/2 c²=a²/2=a²-b²
∴a²=2b²
∴椭圆方程可设为x²/4k²+y²/2k²=1,把点P(√6/2,1/2）代入,得
(6/4)/4k²+(1/4)/2k²=1,
解得,k²=1/2
∴椭圆的标准方程是 x²/2+y²=1．
（2）依题意,O(0,0)M(2,t)
所以OM为直径的圆的圆心是(1,t/2),从而半径r为:√(1+t²/4)
∵圆心(1,t/2)到直线3x-4y-5=0的距离d为|3-2t-5|/5
∵圆被直线3x-4y-5=0截得的弦长为2,弦长的一半1,距离d和半径组成的直角三角形种,
勾股定理 d²+1²=r²
∴d=√(r²-1)=√[(1+t²/4)-1]=t/2
∴|3-2t-5|/5=t/2 (t>0)
解得t=4
圆心(1,t/2)=(1,2) 半径√(1+t²/4)=√5
∴所求圆的方程是(x-1)²+(y-2)²=5．
(3)F(1,0),设N(x0,y0),
则向量ON=(x0,y0),向量OM=(2,t),向量FN=(x0-1,y0),向量MN=(x0-2,y0-t)
∵向量FN⊥向量OM
∴2(x0-1)+ty0=0
化简得 2x0+ty0=2 ⑧
∵∠ONM=90º
∴向量MN⊥向量ON
∴x0(x0-2)+y0(y0-t)=0 化简得 x0²+y0²=2x0+ty0=2 (由⑧得)
∴|向量ON|=√(x0²﹢y0²)=√2
ON=√2