题目

设f(x)满足2f(x)＋2f(X分之1)＝4x,求f(x)的解析式

提问时间：2021-01-11

答案

f(x)满足2f(x)+(x^2)f(1/x)=x+1/x+2,f(x)=?
x与1/x 互为倒数,将1/x替换式中x有 :
2f(1/x)+(1/x^2)f(x)=[(1/x)+1)]/[(1/x)+2)]=(x+1)/(2x+1),(分子分母同乘： x)
二边同乘上：x^2,得：
2(x^2)f(1/x)+f(x)=x^2(x+1)/(2x+1),...(1)(我认为参考答案中这一步的右边错了.）
原式:2f(x)+(x^2)f(1/x)=(x+1)/(x+2).(2)
把（1）、（2）联立方程组,解关于f(x),f(1/x)的二元一次方程.
（2)*2得:4f(x)+2(x^2)f(1/x)=2(x+1)/(x+2)...(3)
(3)-(1)得：3f(x)=2(x+1)/(x+2)-x^2(x+1)/(2x+1)
=[2(x+1)(2x+1)-x^2(x+1)(x+2)]/(x+2)(2x+1)
=[2(2x^2+3x+1)-x^2(x^2+3x+2)]/(x+2)(2x+1)
=[4x^2+6x+2-x^4-3x^3-2x^2)/(x+2)(2x+1)
=-(x^4+3x^3-2x^2-6x-2)/(x+2)(2x+1)
即：f(x)=-(x^4+3x^3-2x^2-6x-2)/[3(x+2)(2x+1)]