题目

在四棱锥P-ABCD中,三角形PBC为正三角形,AB垂直平面PBC.AB平行CD,AB=12DC,E为PD的中点.
求证AE垂直PDC

提问时间：2021-01-10

答案

令PC的中点为F.
∵PF＝CF、PE＝DE,∴由三角形中位线定理,有：FE∥CD,且FE＝CD/2.
又BA∥CD、BA＝CD/2,∴FE＝BA、且FE∥BA,∴ABFE是平行四边形,∴AE∥BF.
∵AB⊥平面PBC,∴BA⊥BF,而BA∥CD,∴BF⊥CD.
∵△PBC是正三角形,又PF＝CF,∴BF⊥PC.
由BF⊥CD、BF⊥PC、PC∩CD＝C,得：BF⊥平面PDC,结合证得的AE∥BF,得：
AE⊥平面PDC.