题目

两个高数空间几何问题
用向量法证明：三角形各边依次同分比之,则三个分点所成的三角形必与原三角形有着相同的重心
求平行于向量a=2i + 3j - 4k的单位向量的分解式

提问时间：2021-01-10

答案

①
设三角形三点所对应向量分别为：
a、b、c
那么重心对应向量为：(a+b+c)/3
假设分比为λ,利用定比分点公式,三角形三边的分点所对应向量为：
a/(1+λ)+λb/(1+λ)
b/(1+λ)+λc/(1+λ)
c/(1+λ)+λa/(1+λ)
这三点对应重心向量为：
[a/(1+λ)+λb/(1+λ)+b/(1+λ)+λc/(1+λ)+c/(1+λ)+λa/(1+λ)]/3
={[a/(1+λ)+λa/(1+λ)]+[b/(1+λ)+λb/(1+λ)]+[c/(1+λ)+λc/(1+λ)]}/3
=(a+b+c)/3
与原三角形重心向量是同一向量,故两三角形有相同重心.
②：
i、j、k代表空间直角坐标系x、y、z轴的单位向量吗?
如果是的话向量a对应的坐标就是：(2,3,-4)
|a|=√[2²+3²+(-4)²]=√29
a的单位向量为：
a/|a|=2i/√29+3j/√29-4k/√29