题目

a+b+c=1,证明1/（1+a^2)+1/(1+b^2)+1/(1+c^2)

提问时间：2021-01-09

答案

答：
当a,b,c≤4/3,设
y1=1/(1+x^2),y2=-27/50(x-2)[y2其实是y1在（1/3,9/10）处的切线]
则y1≤y2等价于（3x-4)(3x-1)^2≤0,
所以当a,b,c≤4/3时,
1/(1+a^2)≤-27/50(a-2),
1/(1+b^2)≤-27/50(b-2),
1/(1+c^2)≤-27/50(c-2),
三式相加,
1/(1+a^2)+1/(1+b^2)+1/(1+c^2)≤-27/50(a+b+c-6)=27/10
当a,b,c中至少有一个大于4/3,不妨设a>4/3
1/(1+a^2)+1/(1+b^2)+1/(1+c^2)