题目

已知函数f（x）=x+sinx．
（1）设P，Q是函数f（x）的图象上相异的两点，证明：直线PQ的斜率大于0；
（2）求实数a的取值范围，使不等式f（x）≥axcosx在[0，

π

2

]上恒成立．

提问时间：2021-01-12

答案

（1）∵f（x）=x+sinx∴f'（x）=1+cosx≥0∴函数f（x）在R上单调递增设P（x1，y1），Q（x2，y2）则y2−y1x2−x1＞0，即kPQ＞0∴直线PQ的斜率大于0；（2）依题意得，设Q(x)＝g(x)−f(x)＝axcosx−x−sinx，x∈[0，π2...

（1）先利用导数研究函数的单调性，然后设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），根据斜率的定义建立关系式，从而可知可证结论；
（2）设Q(x)＝g(x)−f(x)＝axcosx−x−sinx，x∈[0，

π

2

]，然后利用导数研究函数的最小值，使得Q（x）_min≥0即可．

本题考点：导数的几何意义；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评：本题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识，考查灵活运用数学结合、分类讨论的思想进行探究、分析与解决问题的能力．