题目

算三重积分∫∫∫(x^2+y^2)^(-0.5)dv,其中V为球面x^2+y^2+z^2=4与抛物面z=(x^2+y^2)/3所围成的立体.
要用极坐标,答案5*3^(0.5)/pi,我感觉答案是错的,求各位大侠算算,
他这个答案积分 写的是 drdθdz我感觉他少写个r应该是rdrdθdz
还是觉得你是对的

提问时间：2021-01-08

答案

应该是柱坐标吧,极坐标是对于二位图形的.
V为球面x^2+y^2+z^2=4与抛物面z=(x^2+y^2)/3所围成的立体,也就是上面是球面,下面是抛物面.故z的范围为(x^2+y^2)/3≤z≤√（4-x^2-y^2）,上半个球面z大于0.
化为柱坐标为(ρ^2)/3≤z≤√(4-ρ^2)
x^2+y^2+z^2=4与z=(x^2+y^2)/3的交平面为z=1,x^2+y^2=3
故将图形投影至XOY平面,图形是ρ=x^2+y^2=3
所以ρ,θ的范围为：0≤ρ≤√3,0≤θ≤2π
dV=ρdρdθdz
故积分化为
I=∫∫∫(x^2+y^2)^(-0.5)dv
=∫∫∫(1/ρ)ρdρdθdz
2π √3 √(4-ρ^2)
=∫ dθ ∫ dρ∫ dz
0 0 (ρ^2)/3
√3
=2π*∫ [√(4-ρ^2)- (ρ^2)/3]dρ
0
=2π（2π/3+√3/6）
我也和答案不一样,也许答案有问题或者我最后一步积分有问题.
打这么半天不容易啊T_T