题目

关于x的不等式x²-(2m+1)x+m²

提问时间：2021-01-08

答案

∵方程x²-（2m+1）x+m²=0
当△≤0时,即（2m+1）²-4m²≤0,解m≤-1/4时,方程无解或有唯一解；
令函数f（x）=x²-（2m+1）x+m²,
则该函数图像,开口向上,与x轴无交点或仅有一交点；
∴f（x）恒≥0,元不等式＜0无解；
∴m≤-1/4时,不等式的解集为空集；
当△＞0时即：m＞-1/4时有：
方程x²-（2m+1）x+m²=0的根为：x=[（2m+1）±√（4m+1）]/2
∴不等式x²-（2m+1）+m²＜0等价于
{x-[（2m+1）-√（4m+1）]/2}{x-[（2m+1）+√（4m+1）]/2}＜0
∴[（2m+1）-√（4m+1）]/2＜x＜[（2m+1）+√（4m+1）]/2
比较-1/4与[（2m+1）-√（4m+1）]/2的大小；
令√4m+1=t,则：m=（t²-1）/4
∴[（2m+1）-√（4m+1）]/2=（t-1）²/4≥0＞-1/4
∴m＞-1/4时,
不等式的解集为：[（2m+1）-√（4m+1）]/2＜x＜[（2m+1）+√（4m+1）]/2
综上：当m≤-1/4,不等式的解集为空集；
当m＞-1/4时,
解集为：（[（2m+1）-√（4m+1）]/2,[（2m+1）+√（4m+1）]/2）