题目

如图，A，B，C，H四个小朋友在草坪上游戏，根据游戏规则，A，B，C三人围成一个三角形，B，H，C三人共线，H在B，C两人之间．B，C两人相距20m，A，H两人相距hm，AH与BC垂直．

（1）当h=10时，求A看B，C两人视角的最大值；
（2）当A在某位置时，此时B看A，C视角是C看A，B视角的2倍，求h的取值范围．

提问时间：2021-01-08

答案

（1）设CH=x，∴BH=20-x，x∈（0，20），tan∠CAH=x10，1°、当1-20-x10•x10=0，即x=10时，此时∠BAH=∠CAH=45°，∴∠BAC=90°；2°、当1-20-x10•x10≠0，即x≠10时，tan∠BAC=tan（∠BAH+∠CAH）=20-x10+x101-20...

（1）设CH=x，由BC-CH表示出BH，利用锐角三角函数定义表示出tan∠CAH，分两种情况考虑：1°、当1-

20−x

10

•

x

10

=0，即x=10时，此时∠BAH=∠CAH=45°，∠BAC=90°；2°、当1-

20−x

10

•

x

10

≠0，即x≠10时，tan∠BAC=tan（∠BAH+∠CAH），利用两角和与差的正切函数公式化简，将各自的值代入得到其值大于0，由∠BAC为三角形内角，得到∠BAC小于90度，综上，得到A看B，C两人视角的最大值；
（2）利用锐角三角函数定义表示出tan∠ABH与tan∠ACH，得到∠ABH=2∠ACH，利用二倍角的正切函数公式列出关系式，整理后表示出h²，根据x的范围求出h²的范围，即可求出h的范围．

本题考点：两角和与差的正切函数．

考点点评：此题考查了两角和与差的正切函数公式，二倍角的正切函数公式，锐角三角函数定义，利用了分类讨论的思想，熟练掌握公式是解本题的关键．