题目

如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E在BC上，且∠DAE=45°，求证：CD²+BE²=DE²．

提问时间：2021-01-07

答案

证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠2=∠C=45°，
把△ACD绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，如图，则∠1=∠C=45°，BF=CD，AF=AD，∠BAF=∠CAD，∠DAF=90°，
∵∠DAE=45°，
∴∠CAD+∠BAE=45°，
∴∠BAE+∠BAF=45°，即∠EAF=45°，
∴∠EAD=∠EAF，
在△ADE和△AFE中

AE＝AE ∠EAD＝∠EAF AD＝AF

，
∴△ADE≌△AFE，
∴DE=FE，
∵∠FBE=∠1+∠2=90°，
∴BE²+BF²=EF²，
∴CD²+BE²=DE²．

根据等腰直角三角形的性质得∠2=∠C=45°，再把△ACD绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，如图，根据旋转的性质得∠1=∠C=45°，BF=CD，AF=AD，∠BAF=∠CAD，∠DAF=90°，接着证明∠EAD=∠EAF，然后根据“SAS”可判断△ADE≌△ADF，得到DE=FE；由于∠FBE=∠1+∠2=90°，根据勾股定理得BE²+BF²=EF²，然后利用等线段代换即可得到结论．

本题考点：旋转的性质；勾股定理；等腰直角三角形．

考点点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质．