题目

设a,b是两个不共线的向量,其夹角为θ,若函数f(x)=(xa+b)*(a-xb)（x∈R）在(0,+∞)上有最大值,则
A.|a|＜|b|,且θ为锐角
B.|a|＜|b|,且θ为钝角
C.|a|＞|b|,且θ为钝角
D.|a|＞|b|,且θ为锐角

提问时间：2021-01-07

答案

f(x)=(xa+b) dot (a-xb)=x|a|^2-x|b|^2+a dot b-x^2(a dot b)
=-(a dot b)x^2+(|a|^2-|b|^2)x+a dot b
函数的对称轴：x=(|a|^2-|b|^2)/(2(a dot b))
因为向量a,b不共线
1
当θ=为锐角时,a dot b>0,f(x)开口向下,在x∈(0,inf)上,函数要取得最大值
要求函数的对称轴位于y轴右面,在函数的对称轴处,函数取得最大值
即：(|a|^2-|b|^2)/(2(a dot b))>0,即：|a|^2-|b|^2>0,即：|a|>|b|
(说明：在对称轴位于y轴左面时,函数在x∈(0,inf)上,有“假”最大值,当x趋于0时
函数值能趋于f(0),但不能取得最大值)
2
当θ=为钝角时,a dot b