题目

在RT三角形ABC中,AC=2,BC=2,已知点P是△ABC内一点,则向量PC·(向量PA+向量PB)的最小值是?
P(X,Y),那设K=向量PC·(向量PA+向量PB)=2（x^2-x+y^2-y)
(X-0.5)^2+(Y-0.5)2=K/2-1/2
求Kmin,就是求(0.5,0.5)为圆心的圆的半径的最小值,
那不就是K/2-1/2>0,k>1,那没最小值了
可答案是kmin=-1,为什么?

提问时间：2021-01-06

答案

思路是对的,不等式反了
K/2+1/2>=0
k>=-1
以C为坐标原点建立直角坐标系,
C（0,0）,A(0,2) B(2,0),设P点坐标为（x,y）,
向量PC(PA+PB)=2（x^2-x+y^-y),
x^2-x+y^-y=(x-1/2)^+(y-1/2)^2-1/2,.（这里你配方有问题,是-1/2不是+1/2）
(x-1/2)^+(y-1/2)^2即为△ABC内一点到点（1/2,1/2）距离平方,
当其最小时向量PC(PA+PB)的最小,
因为点（1/2,1/2）也在△ABC内,
所以（x-1/2)^+(y-1/2)^2最小为0,
所以向量PC(PA+PB)的最小值=2（-1/2）=-1
如果本题有什么不明白可以追问,