题目

请用局部变动法证明几何平均数一定小于等于算术平均数
“两个数a和b,现在我已经知道它们的和是S,那么它们的乘积最大是多少?或许大家都知道,当两个数的和一定时,两数相等时乘积最大.也就是说,问题的答案就是((a+b)/2)^2.证明这个结论很简单,我们可以通过简单的代数运算看出,对于任意的a和b,((a+b)/2)^2不会小于ab.用前面的减去后面的,我们有
((a+b)/2)^2 - ab
= (a^2+2ab+b^2)/4 - ab
= (a^2-2ab+b^2)/4
= ((a-b)/2)^2
可以看到,前者减去后者的差始终非负,并且仅当a=b时差值为0.
下面考虑n个数a1,a2,...,an,现在已经知道它们的和是S,那么它们的乘积最大是多少?你也许不知道相关的定理,以前也不曾想过这个问题,但稍加思考你会说,当这n个数都相等时乘积最大.你或许以为你是凭直觉想到了这个结论,但事实上你的大脑已经不自觉地使用了局部变动法.固定其它n-2个数不变,只考虑其中两个数,那么很显然这两个数的和也已经固定了,并且增大它们的积也就可以改进整个问题的答案.而要想让这两个数的积最大,它们必须得相等才行.运用局部变动原理,则只有任两个数都相等,这n个数的乘积才会最大.此时,这n个数的值都等于(a1+a2+...+an)/n,只有这样它们的乘积才可能是最大的,任何其它情况下的a1*a2*...*an都比它小.
仿照上面给出的式子,我们把这个结论写成如下形式：
( (a1+a2+...+an)/n )^n >= a1*a2*...*an
两边同时开n次方,我们的结论赫然出现：n个数的算术平均数大于等于它们的几何平均数.”
这个太笼统,那位仁兄能够帮忙把这个写成数学的证明过程,要数学语言,符号表示的那种,吾感激不尽.

提问时间：2021-01-06

答案

引理：( (a1+a2+...+an)/n )^n >= a1*a2*...*an (an>0)
证明：反设此式不总是成立,设a1到an的和不变,即左边不变时,右边的最大值在a1到an的某一取值下得到,则( (a1+a2+...+an)/n )^n < a1*a2*...*an,必有a1到an不全相等（否则是等号）,不妨设a1≠a2.
令a'1=a'2=(a1+a2)/2,a'i=ai(2