题目

广义积分(-1,1)dx/[1+2^(1/x)] 按回答速度还会追加财富…

提问时间：2021-01-04

答案

当x从大于0的地方趋于0时,1/x趋于正无穷,1/(1+2^(1/x))趋于0；
当x从小于0的地方趋于0时,1/x趋于负无穷,1/(1+2^(1/x))趋于1；
因此这实际上是Riemann积分.
将原积分记为I,做变量替换x=-t,原积分化为
积分(从1到-1)-dt/(1+2^(-1/t)) 分子分母同乘以2^(1/t)
=积分(从-1到1)2^(1/t)dt/(2^(1/t)+1)
两式相加得2I=积分(从-1到1)dt=2,
因此原积分值=1.