题目

已知函数y=(2^x-2^-x)/(2^x+2^-x)求此函数的反函数求此函数的值域

提问时间：2021-01-03

答案

第一个问题：
∵y＝［2^x－2^（－x）］/［2^x＋2^（－x）］＝［（2^x）^2－1］/［（2^x）^2＋1］,
∴y［（2^x）^2＋1］＝（2^x）^2－1,∴y（4^x＋1）＝4^x－1,∴（y－1）×4^x＝－y－1,
∴4^x＝（y＋1）/（1－y）,∴x＝㏒(4)［（y＋1）/（1－y）］.
∴所要求的函数的反函数是：y＝㏒(4)［（x＋1）/（1－x）］.
第二个问题：
∵4^x＝（y＋1）/（1－y）,显然有：4^x＞0,∴（y＋1）/（1－y）＞0,
∴y＋1＞0、且1－y＞0；或y＋1＜0、且1－y＜0.
一、由y＋1＞0、且1－y＞0,得：y＞－1、且y＜1,∴－1＜y＜1.
二、由y＋1＜0、且1－y＜0,得：y＜－1、且y＞1.这当然是不合理的,应舍去.
∴函数的值域是（－1,1）.