题目

已知0≤x≤1，f（x）=x2−ax+

a

2

(a＞0)，f（x）的最小值为m．
（1）用a表示m；
（2）求m的最大值及此时a的值．

提问时间：2021-01-02

答案

（1）∵f′(x)＝2x−a＝2(x−

a

2

)，
①当a＞2时，

a

2

＞1，f^′（x）＜0，∴f（x）在[0，1]上单调递减，在x=1处取得最小值f（1）=1-a+

a

2

=1−

a

2

．
②当0＜a＜2时，0＜

a

2

＜1，令f^′（x）=0，解得x=

a

2

，列表如下：
由表格可知：f（x）在x=

a

2

处取得极小值f(

a

2

)＝−

a2

4

+

a

2

，也是最小值．
③当a=2时，在x∈[0，1]上，f^′（x）=2（x-1）≤0，∴函数f（x）单调递减，在x=1处取得最小值0．
综上可知：m=

− a2 4 + a 2 ，当0＜a≤2时 1− a 2 ，当a＞2时

．
（2）①当0＜a≤2时，m^′（a）=−

1

2

a+

1

2

=

1−a

2

，当0＜a＜1时，m^′（a）＞0，函数m（a）单调递增；当1＜a≤2时，m^′（a）＜0，函数m（a）单调递减．
可知当a=1时，m（a）取得极大值

1

4

，也是最大值；
②当a＞2时，m（a）=1−

a

2

在（2，+∞）上单调递减，m（a）＜m（2）=0．
综上可知：只有当a=1时，m（a）取得最大值

1

4

．

（1）通过对a分类讨论，利用导数即可求出；
（2）由表达式利用导数即可求出其最大值．

本题考点：二次函数的性质．

考点点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性是解题的关键．