题目

已知两物体A,B质量;及其距离;求其只在万有引力作用下相遇的时间;(A,B作质点看待)
给入数据
A 10000kg； B 10000kg AB相距10m
求时间

提问时间：2021-01-02

答案

1楼orz,这不是一个匀加速运动……
直接从牛顿第二定律和万有引力定律出发,代初值,解微分方程,可以得到结果.
当然,也有不要(仅仅是看起来)用微积分方法,这需要对两体问题有相当的理
首先,选取参考系为质心系,物体(以B为例,A也是一样的)B受到一个指向定点,即质心的力,这个力与它到这个定点的距离平方成反比,假设两物体之间距离为d,则物体到质心的距离为
r=d/2,假设两物体质量分别为M_A,M_B,则物体B受力,F=G M_A/ d^2= G （M_A/4）/ r^2.
即物体B等同于受到一个固定于质心处的质量为M_A/4的物体的万有引力作用,我们知道,这种情况下,B做一个以这个固定为焦点的圆锥曲线运动,而在我们讨论的情况下,由于总机械能量小于0(无初速),因此是一个椭圆轨道,而且这个椭圆轨道是一个极扁的轨道,扁到了变成了直线运动,而质心所在既是椭圆轨道的焦点,也是轨道的近地点,因此轨道的半长轴为D/4,D为AB的初始距离.代入椭圆轨道行星公转周期公式：
T=2 pi sqrt(a^3/GM),
其中pi 是圆周率,a为半长轴,M为中心恒星的质量,sqrt(x)表示对x开方.
在我们的问题中,B从静止到在质心碰撞到A,是一个在质心系中,从远地点到近地点的过程,因此是半个周期,从而碰撞时间：
t=pi sqrt[(D/4)^3/G(M_A/4) ]=pi/4 sqrt(D^3/G M_A)
自己代数据就能求出数了.