题目

已知函数f(x)的定义域为(0,∞)值域为(0,5) 且对任何正实数t,X都有f(x)+f(x+2T)>2f(x+T),
写一个满足上述条件的函数

提问时间：2021-01-02

答案

你的问题是这样的.首先由对任何正实数t,X都有f(x)+f(x+2T)>2f(x+T）这个条件可知,一个严格的下凸函数（二阶导数恒为正数）必定能满足这个要求.因此这个条件比较容易实现,这道题难点在于前面的条件定义域为(0,∞)值域为(0,5).我经过思考,发现用反正切函数和其他函数复合可以做到这点.f(x)=(10/pi)arctan(1/根号x).显然,当x>0时,f(x)才由意义,所以定义域为(0,∞),而x趋于0时,f(x)趋于（10/pi)*(pi/2)=5,x趋于正无穷时,f(x)趋于0,切f(x)在定义域内是单调递减的,故值域为(0,5).对f(x)求二阶导数,可以发现它的二阶导数在(0,∞)恒为正,所以f(x)是一个严格下凸函数,故对任何正实数t,X都有f(x)+f(x+2T)>2f(x+T.
当然了,满足条件的函数有很多,这只是形式比较简单的一个.