题目

若x属于R,f(x+m)+f(n-x)=p,则f(x)的图像关于(m+n/2,p/2)对称.这个结论是怎么推出来的?

提问时间：2021-01-01

答案

这说明你没有弄明白函数的图像关于某点对称是怎么回事.
设函数f(x)的图像关于点(a,b)对称,那说明,你若在x轴上点(a,0)的两侧取两点,比如M和N,并且M到点(a,b)的距离与N到点(a,b)的距离的距离相等.再分别过M,N作y轴的平行线,与f(x)的图像分别交于S,T点.那么S点的纵坐标和T点的纵坐标,一个大于等于b,一个小于等于b（可粗略理解为也在b的两侧）,且大的（或等于的）纵坐标与b的差,等于b与小的（或等于的）纵坐标之差.
概括一句话,可以这么理当自变量关于a对称时,函数值就关于b对称.
下面用式子来表达这句话.
首先,无论K取何值,a+K和a-K都是关于a对称的.所以它们所对应的函数值应该关于b对称.即
f(a+K)-b=b- f(a-K)
整理一下,得
f(a+K)+ f(a-K)=2b ①
别一方面,若有函数满足上面的关系,也可很容易的推出这个函数的图像是关于点(a,b)对称的.
现在回到你的问题.
因为f(x+m)+f(n-x)=p,所以对无论取何值的K,当x=K+（n-m）/2,有
f{ [K+（n-m）/2]+m) }+f{ n- [K+（n-m）/2]}= p,即
f [(m+n)/2+K] = f [(m+n)/2-K]=2（p/2）
容易看出它与①的形式是完全一样的,根据前面的分析,直接可得,
这个函数f(x)的图像是关于点(m+n/2,p/2)对称的.完.