题目

设函数f（x）=2x3+3ax2+8c的单调增区间是负无穷到1和2到正无穷,单调递减区间是（1,2）.若对于任意x属于
【0,3】都有f（x）小于c2成立,求c的取值范围?

提问时间：2020-12-30

答案

f(x)=2x^3+3ax^2+3bx+8c
f'(x)=6x^2+6ax+3b
由单调区间,可知：f'(1)=0、f'(2)=0
即：
6+6a+3b=0…………………(1)
24+12a+3b=0………………(2)
(2)-(1),有：18+6a=0
解得：a=-3
代入(1),有：6+6×(-3)+3b=0
解得：b=4
将a、b代入原函数,有：f(x)=2x^3-9x^2+12x+8c
f(x)＜c^2
f(x)-c^2＜0
由f(x)的单调区间,可知x=1是f(x)的极大值点,x=2是f(x)的极小值点
c为常数,所以f(x)-c^2的单调区间以及极值点与f(x)相同.
f(1)-c^2=5+8c-c^2
f(3)-c^2=9+8c-c^2
显然f(3)-c^2＞f(1)-c^2
由：f(x)-c^2＜0,得：f(3)-c^2＜0
即：9+8c-c^2＜0
c^2-8c-9＞0
(c-9)(c+1)＞0
解得：c∈(9,∞),或：c∈(-∞,-1)