题目

一道高一数列题.
｛an｝满足a1+3a2+3^2a3+3^(n-1）an=n/3,求an；令bn=n/an,求bn这个数列的前n项和.

提问时间：2020-12-30

答案

1、由于
a(1)+3a(2)+(3^2)a(3)+…+[3^(n-1)]a(n)=n/3
则
a(1)+3a(2)+(3^2)a(3)+…+[3^(n-1)]a(n)+(3^n)a(n+1)=(n+1)/3
两式相减,得
(3^n)a(n+1)=1/3
所以可解得
a(n)=1/(3^n)
2、b(n)=n/a(n)=n×(3^n)
则{b(n)}的前n项和为
S(n)=1×3+2×(3^2)+…+n×(3^n)
而
3S(n)=1×(3^2)+2×(3^3)+…+n×[3^(n+1)]
上式减下式,得
﹣2S(n)=3+3^2+3^3+…+3^n﹣n×[3^(n+1)]
=(1/2)[3^(n+1)-3]﹣n×[3^(n+1)]
=﹣(1/2)(2n-1)[3^(n+1)]-3/2
所以
S(n)=(1/4)(2n-1)[3^(n+1)]-3/4